讲座内容：

本报告将讨论KD表象和Bargmann不变量的一些近期理论探索。Kirkwood-Dirac（KD）表象是通过两个正交归一基来表示量子态的一种方法，因此KD表象包含量子态的性质，也包含两个正交归一基之间的关系。最近，KD分布在量子计量学、量子混沌和量子理论基础等许多领域中得到了应用，从而引起了大家的关注。KD分布是一种准概率分布，负或非实元素可能预示在某些量子信息处理任务中的量子优势。如果一个量子态的KD分布是概率分布，则称该量子态为KD正态。因为离散傅里叶变换在数学和物理上非常重要，因此当两个正交归一基之间的转移矩阵是离散傅里叶变换时，量子态的KD分布的性质尤其重要。我最近证明，在给定的d维复希尔伯特空间，在离散傅里叶变换之下，全部纯KD正态所张成的仿射子空间和全部KD正态张成的仿射子空间相同，该空间恰好是厄米KD  

实算子空间，并且该空间的维数恰好等于数论中的Pillai函数。该结论表明，离散傅里叶变换之下的KD正态一定在这个仿射子空间内。

n个排序的密度算子之积取迹得到的量称为是这n个排序密度算子的n阶Bargmann不变量。Bargmann不变量自1964年物理学家Bargmann提出至今，在量子物理学中有广泛应用。不难发现，1阶Bargmann不变量取单值{1}，2阶Bargmann不变量取值范围是实数区间[0,1]。但是3阶及以上阶数Bargmann不变量可以取复数值，其在复平面的取值范围是一个长久以来悬而未决的基本问题。我最近严格确定了任意阶Bargmann不变量在复平面上的取值范围。

玻色高斯态在量子光学和量子信息学中有广泛应用，我最近推导出了任意n个排序高斯态的Bargmann不变量用一阶矩和二阶矩表达的显示表达式，并提出了一个高斯态Bargmann不变量在复平面上取值范围的猜想。